第 1 章 集合与实数集⚓︎

本章实际是一个预备知识篇 (Preliminaries)，介绍基本的集合论概念和有关性质。

集合及其运算⚓︎

基本概念⚓︎

基本的集合论知识在高中已经学过，这里不赘述。

有一些基本的定理（或许称为性质更贴切）如下（证明留作习题）

Proof.

根据集合包含于的定义，任何集合自身的元素一定也属于自身；若是 \(A\) 中元素全部属于 \(B\)，而 \(B\) 中的元素全部属于 \(C\)，那么很容易知道 \(A\) 中的所有元素一定也是 \(C\) 的元素.（用定义说废话）

定义了集合的种种关系之后，为了使它更加丰富还需要定义它的种种运算，也就是并差交补，还有比较新的对称差（定义上天然具有对偶的性质），其中还会衍生出和通关系式和二元的 De Morgan 公式（很自然地推广到集族）

注：主要的运算虽然只有并差交补，但是对称差有时也会提及作为一个简化的表示手法（简化交并运算）

为了推广集合运算，就需要集族（集合 \(X\) 上的集族满足：集族上的每个元素都是 \(X\) 的子集），一个生动的例子就是 \(\mathbb{R}\) 上所有开区间就是 \(\mathbb{R}\) 的集族。

下面不加证明地列出一些定理（实际上都是运用相互包含关系证明集合相等）

注：这里再额外给出一个常用的集合表达式，在很多题目的证明中会使用到这种分割的技巧（将一列集合转变为不交并的方法）：

n 维欧氏空间⚓︎

我们还需要一般的欧氏空间的定义，那么我们就需要定义距离（度量）以形成度量空间，在此之前是一个直积的定义（方便起见，直接定义 \(n\) 维的）.

那么很自然地在上面定义加法和数乘，并利用 2-范数定义 Euclid 距离

定义出的距离将具有三大性质（不只有欧氏距离具有这些性质，这也说明距离的定义方式不唯一）：

• 非负性
• 对称性
• 三角不等式

Remark: 有了加法、数乘、欧氏距离后的 \(R^{n}\) 称为 \(n\) 维欧氏空间

集合序列的极限⚓︎

定义好 \(n\) 维欧氏空间后很自然地会开始讨论极限，对于一般序列的极限，在数学分析中已经研究的比较清楚，那么为了将集合论语言应用于接下来的研究中，就需要利用集合论表示集合序列的极限。

为了讨论方便起见，可以先考虑单调的集列，对于任意给定的集合序列我们可以构成两个不同的单调集列：

很自然地定义了单调性之后我们可以开始考虑极限问题（可以视作单调有界定理的启发），然后就可以定义上下极限，并给出一个更为简单的刻画。

或许这里集合的表示方法比较抽象，这里可以参考一下杨力华和夏道行老师的教材，两本书都给出了比较详细的刻画，尤其是夏道行老师的书中直接给出的是下面将要给出的一个更为简单的等价刻画.

当上下极限存在且相等时我们称极限存在，且极限就等于上极限（下极限）

注：我们在后续更经常在理解中使用这种等价刻画的形式，但是在严谨的证明中还是更多使用原本的集合论语言

证明就利用到了上下极限的定义和极限的定义

Proof.

方便起见只证明单调递增的情况，反方向同理可得，显而易见的 \(\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_{k}=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_{k}\)，\(\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_{k}=A_{n}\)

映射⚓︎

主要还是回忆了基本的映射关系，不再赘述

• 单射
• 满射
• 双射
• 复合映射
• 逆映射

注 1：尤其注意一下特征函数，虽然形式很简单但是在实分析中经常用到

注 2：还要留心映射与集合运算之间的关系：\(f\left( \bigcup\limits_{\lambda}A_{\lambda} \right)=\bigcup\limits_{\lambda}f(A_{\lambda})\)

集合的等价、基数⚓︎

这部分将分为四小节介绍 1. 基本定义 2. 有限集、无限集、可数集 3. 连续统势 4. 基数的比较

基本定义⚓︎

主要的定义是

• 什么是等价
  • 等价意味着存在一种双射关系，也是一种等价关系
  • 两两不交的各自等价的集合，并之后也是等价
• 什么是基数和势

注：通过等价关系形成等价类的思想也值得熟悉一下，在后续的证明中也时常用到（分类可以说是一种常见的问题）

有限集、无限集、可数集⚓︎

集合分类：

• 至多可数集
  • 可数集
  • 有限集
• 不可数集

一些比较重要的观念（定理）：

• 可数集是基数最小的无限集（任意无限集可以选出可数子集）
• 可数集的任一无限子集是可数集
• 至多可数个可数集的并仍然是可数集（经典的集合构造，实际上是给出了一种可数排列方式，也就相应说明了可数）
• 有理数全体是可数集
• \([0,1]\) 是不可数集合以及不可数集合的构造
• 至多可数集不破坏无限集的等价性（也就是原本等价的无限集并上至多可数集仍然等价）-杨力华：无限集的基数对可数增减的不变性
• 不存在基数最大的集，因为子集全体的势永远大于原本的集合

将重要的点提取出来就是下面的一个重要定理：

注：这个定理在本章用处很多，需要仔细的思考并体会意思，可以多积累有关用法和推论

Proof.

证明方法还是简单朴素的：

1. 只需要任意挑选出一个元素，并用余集还是一个无限集的性质
2. 利用可数集的下标即可排序
3. 也是一个排序的问题，可以将 \(A_{n}=\left\{ a_{1}^{n},a_{2}^{n},\dots,a_{k}^{n}\dots \right\}\) 改为按照 \(B_{n}=\left\{ a_{1}^{n},a_{2}^{n-1},\dots,a_{n}^{1} \right\}\) 排列，变为了有限集合的并，这样就可以给出新的排序方式了

注：注意证明可数性实际相当于给出一个集合与自然数集的一个双射也就是找到一种排序方式

推论：有理数全体是可数集 (\(A_{n}=\left\{ \frac{1}{n}, \frac{2}{n},\dots \right\}\))

注：无限个可数集的直积会破坏可数性（未必可数），可以简单的给出一个反例，可数个 \(\left\{ 0,1 \right\}\) 做直积可以与二进制等同，可以用于表示 \((0,1)\) 区间上的一切数可知有连续统势，不可数。

下面给出一个比较违背直觉的有关等势的定理：

Proof.

比较简单，只要按照希尔伯特旅馆的做法平移一段就可以了

利用无限集中可以找到一个可数子集的性质和可数子集的可数并仍然为可数集（也就是将可数集当做桥梁其余不变）

注：这也是一种实用的技巧，用可数无穷相互映射，其余不可数的部分相互抵消（恒等映射即可）

连续统势⚓︎

周性伟的定义是与 \([0,1]\) 区间等价的就具有连续统势，由此可以变换到任意区间甚至实数轴都具有连续统势

有关连续统势的重要扩充：

• n 元数列的势
• 无限 n 元数列全体具有连续统势
• 可数集的子集全体有连续统势（2 元数列全体）
• 连续统假设（这是比较重要的，但是涉及该假设的证明一般应当尽量避开）

注：有关 n 元数列有连续统势的证明实际就是证明 \((0,1]\) 的无限小数和有限小数可以与 n 元数列一一映射，这就涉及到了进制的转换，也可以参考 Zorich 中的证明，写的也十分的详细。

主要是利用这个等式 \(\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{k_{i}-1}{n^{i}}< x\leqslant \sum\limits_{i=1}^{m-1} \frac{k_{i}-1}{n^{i}}+ \frac{k_{m}}{n^{m}}\)，趋于无穷时就有 \(x= \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{a_{i}}{n^{i}}\)

注：一维连续函数也具有连续统势，连续函数被其在有理点的取值唯一确定，那么只需要把 \(f\) 在有理数上的取值写成一个数列就可以得到连续函数全体到 \(\mathbb{R}\) 的可数直积的单射，所以连续函数的数目要小于等于连续统，反之因为任何一个实数对应一个常值函数，所以连续统小于等于连续函数数目，即证.

基数的比较⚓︎

主定理：Bernstein 定理，证明的方法也比较多样，这里摘取一个周性伟书中利用等价的方法：

Proof.

证明这个引理只需要利用递推关系即可

有了这个引理我们就可以比较简单的证明 Bernstein 定理了：

注：这个定理显然相当重要，也是证明基数相当的重要手段：证明两个集合分别与另一个集合的子集等价，类似于证明相等时分别证明大于等于和小于等于一样

比较精炼的证明也可以参考 Folland，采用了一种“链条式”的证明方法，笔者曾经在初次阅读时被绕晕过

还有一个关于基数的重要命题(定理)是不存在基数最大的集 \(\mu<2^{\mu}\)(难点在于证明不等价，使用到的构造是罗素悖论中使用过的，也就是从 A 到 A 的集族映射记为 \(f\)，\(A^{*}=\left\{ x \in A,x\not\in f(x) \right\}\))，这样讨论就会得出矛盾了.

注：关于基数的比较，也可以参考 Folland 通过 \(A,B\) 之间的单射和满射关系定义基数的序关系，通过证明单射和满射证明基数大小关系也是一种常见思路

\(\mathbb{R}^{n}\) 中的拓扑⚓︎

本节对 \(\mathbb{R}^{n}\) 中点集建立拓扑性质。拓扑学的英文为 Topology,原意为地志学。在数学中，拓扑性质是指集合在连续变换下不变的性质。连续的概念必须由邻域、距离等概念来刻画，后者是极限概念的基础。本书中，\(\mathbb{R}^{n}\) 中点集的拓扑性质可以理解为与距离概念相关的性质，即邻域、开集、闭集等概念的性质。

主要由以下几个部分组成

• 邻域
• \(\mathbb{R}^{n}\) 中的开集和闭集
• \(\mathbb{R}^{n}\) 中的开集
• \(\mathbb{R}^{n}\) 中集的内点、内核、附着点和闭包
• 聚点、导集、孤立点及完备集
• 疏集与稠集
• \(\mathbb{R}^{n}\) 中的完备集、Cantor 完备集与 Cantor 函数
• \(\mathbb{R}^{n}\) 中的长方体
• \(\mathbb{R}^{n}\) 上的连续函数、点与集的距离
• 开覆盖、紧集

邻域⚓︎

若 \(x \in \mathbb{R}^{n},\varepsilon>0\)

称为 \(x\) 的 \(\varepsilon\) 邻域，若是更进一步有 \(E \in \mathbb{R}^{n },\exists\varepsilon>0,s.t.V(x,\varepsilon)\subset E\)

\(\mathbb{R}^{n}\) 中的开集和闭集⚓︎

有关开集和闭集的定义和性质必须牢固掌握：

若是 \(G\subset \mathbb{R}^{n},G\) 是其每一点的邻域，则 \(G\) 为开集，开集的补集称为闭集

注：通常两个意味着有限个，

同理可以得到闭集相关的定理

闭集存在一个重要的等价刻画：

Proof.

使用反证法找到开邻域即可，另一边则是证明 \(F^{c}\) 不为开集，这是一种常用的手法，由于开集使用集合语言描述比较方便而且直接，在证明闭集的过程中往往考虑证明其的补集不为开集

\(\mathbb{R}^{n}\) 中的开集⚓︎

显然实数轴上的开区间是开集，从直觉上来想一维的开集应当是许多个开区间组成的，这就是下面构成区间定义构建的动机

设 \(G\) 是 \(R\) 中的开集，\((a,b)\) 是开区间，若是 \((a,b)\subset G\) 但 \(a\not\in G,b\not\in G\)，则 \((a,b)\) 称为 \(G\) 的一个构成区间，注意 \(a,b\) 可以为 \(\infty\)

为了更加明确开集是由构成区间构成的这一点，我们应当可以分两步证明： 1. 开集中的每一点都属于该集合的一个构成区间 2. 开集是至多可数个两两不相交的开区间的并

下面的几节更多的是定义的记忆和理解，只有对定义非常熟悉才能在证明的时候不至于手忙脚乱.

\(\mathbb{R}^{n}\) 中集的内点、内核、附着点和闭包⚓︎

设 \(E\subset \mathbb{R}^{n},x \in \mathbb{R}^{n}\)

• 内点：\(E\) 是 \(x\) 的邻域，\(x\) 是 \(E\) 的内点
• 内核(内部)\(E^{\circ}\)：\(E\) 的内点全体
• 附着点(触点)：\(x\) 的任一邻域与 \(E\) 有非空交
• 闭包：\(E\) 的附着点全体记为 \(\overline{E}\)

由定义可得以下性质

• 若是 \(x\in \overline{E}\implies\) 有 \(E\) 中点列 \(\left\{ x_{k} \right\},x_{k}\to x\)(利用邻域的任意性取 \(V\left( x, \frac{1}{n} \right)\) 即可)
• \(E^{\circ}\) 是开集，\(E^{\circ}\subset E\)，且是 \(E\) 中最大的开集
• \(\overline{E}\) 是闭集，\(E\subset \overline{E}\)，且是 \(E\) 中最小的闭集

推论：\(E=E^{\circ}\iff E\) 是开集，\(E= \overline{E}\iff E\) 是闭集

聚点、导集、孤立点及完备集⚓︎

在附着点的基础上提出聚点的概念：任何邻域除去自身外与 \(E\) 有非空交称为聚点，聚点全体称为导集\(E'\)，若是 \(x\in E\) 但不是聚点，就称为孤立点，没有孤立点的闭集称为完备集

注：完备集的定义容易被忽视，这里额外加粗

根据定义将给出下面的性质

• \(x\in E'\iff E\) 中存在点列 \(\left\{ x_{k} \right\}\)，使 \(x_{k}\neq x\) 且 \(x_{k}\to x\)
• 对任何 \(E\subset \mathbb{R}^{n}\)，\(\overline{E}=E\bigcup E'\)

注：\(E\) 并上是为了加入孤立点，这也变相给出了一个推论 \(\overline{E}=E=E'\) 可以推出 \(E\) 是完备集

疏集与稠集⚓︎

这也是很重要的但是容易被遗忘的定义：

设 \(E\subset \mathbb{R}^{n}\)，若是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中任何非空开集必有非空开子集与 \(E\) 不相交，则 \(E\) 称为疏集，若 \(\mathbb{R}^{n}\) 中任何非空开集与 \(E\) 有非空交，则 \(E\) 称为稠集

这个定义可能略微有点抽象，这里用例子加以说明：整数全体是 \(\mathbb{R}\) 中疏集，有理数全体是 \(\mathbb{R}\) 中稠集

下面给出有关的定理：

通常若是有 \(A\subset B, \overline{A} \supset B\)，\(A\) 也称为 \(B\) 的稠子集，例如 \((0,1)\) 中的有理数全体为 \((0,1)\) 的稠子集

这里的资料确实比较少也不是特别重点的内容但还是要注意不要忽略

\(\mathbb{R}^{n}\) 中的完备集、Cantor 完备集与 Cantor 函数⚓︎

设 \(F\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的完备集，由定义 \(F\) 是闭集，\(F^{c}\) 是开集那么可以利用构成区间得到 \(F^{c}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}(a_{i},b_{i})\)，且区间两两不交，且没有孤立点也就是两个区间之间没有公共端点，反之也就是开区间列两两不交且无公共端点则 \(F\) 为完备集，也就是下面的定理

下面给出在本章中乃至实变函数中都非常重要的一个集合——Cantor 集的构造

在 \(\mathbb{R}\) 中的 Cantor 集的构造非常简单：简单来说就是将 \([0,1]\) 区间三等分取走中间的部分，下一步是将剩余的两个区间也三等分取走中间的部分，以此类推即可，这样我们在第 n 步时就可以得到 \(2^{n}\) 个 \(\frac{1}{3^{n}}\) 长度的区间，显然它是趋于零的，再在区间上定义一个函数 \(f(x)= \frac{2k-1}{2^{n+1}}\)，这个函数是单调递增的

这里应当声明一下记号，因为在后续的证明和陈述中常常会用到：

取走的开集 \(G=\bigcup \left\{ I_{n,k}:1\leqslant k\leqslant 2^{n-1},n\geqslant 1 \right\}\)，其中 \(\left\{ I_{n,k} \right\}\) 是两两不相交且无公共端点的开区间族，而且它们都不以 \(0,1\) 为端点，那么可以得到

是一个完备集，它称为Cantor 完备集

注：\(G\) 中所有开区间的长度为 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{3^{n}}=1\)

容易得到以下性质：

(1) Cantor 完备集没有内点 (2)\(G\) 是 \([0,1]\) 中稠子集，即 \(\overline{G}=[0,1]\) 等价地，任何 \((a,b)\subset[0,1]\) 其内含有 \(G\) 中点

似乎从直觉上看，Cantor 完备集的点没有多少，也就是基数应当不大似乎是可数个，但实际不然，Cantor 完备集有连续统势：这个证明只需要利用到先前证明的 n 元数列全体具有连续统势，利用 Cantor 完备集的构造方法就可以给出一个 \([0,1]\) 上的点到全体三元数列的一个完全一一映射了

下面再来考虑函数的性质，首先容易知道它是单调递增的，我们可以对它进行延拓：

很明显 \(g\) 也是单增的函数，并且 \(0 \leqslant g(x)\leqslant 1\)，此外当 \(x \in G\) 时有 \(g=f\)，它也是 \(\left[ 0,1 \right]\) 上的稠子集，可知它连续

总结一下就是：

\(\mathbb{R}^{n}\) 中的长方体⚓︎

既然在 \(\mathbb{R}\) 上我们使用开区间作为构成单元去覆盖逼近一切集合，在 \(\mathbb{R}^{n}\) 上我们就可以考虑开区间的并——半开方体(开长方体、闭长方体一样)

我们容易得到任意一个边长为 \(\lambda\) 的方体应当都可以表示为有限个边长为 \(\frac{\lambda}{2}\) 的方体的并

进而有 \(\mathbb{R}^{n}\) 中任一开集都是可数个两两不交的半开方体的并，证明依靠上面的分割性质，不断缩小方体的边长实现极限的逼近(可达)

\(\mathbb{R}^{n}\) 上的连续函数、点与集的距离⚓︎

连续函数的定义在数分中已有记载，但是在集合上的连续还是稍微说明

设 \(D\subset \mathbb{R}^{n},f:D \to \mathbb{R},x \in D\)，若是 \(\lim\limits_{ \substack{y\to x\\y \in D}}=f(x)\)，则称 \(f\) 沿 \(D\) 在 \(x\) 上连续

下面有一个定理给出连续的充要条件：

注 1：这与可测函数的定义有些类似，注意二者证明中的相同点

注 2：连续函数实际有一个偏拓扑的定义：开集的原像是开集

再给出距离函数的定义，记号同上

称为 \(x\) 与 \(D\) 的距离

根据三角不等式可以得到引理：\(\forall x,y \in \mathbb{R}^{n}\)，有 \(\lvert d(x,D)-d(y,D) \rvert\leqslant d(x,y)\)

注意观察，相当于是 Lipschitz 条件，所以显然可以得到一致连续

下面则是将实数理论从 \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}^{n}\) 的过程：

证明只需要对每一个维度的坐标使用一维的聚点定理，将下标的范围一直迭代嵌套即可.

再补充一个与距离函数有关的定理

证明可以利用取子列和有界性带来的 B-W 定理找到聚点，再根据闭集的等价刻画找到收敛点。

注：无界的反例很容易举比如 \(\left[ k,+\infty \right]\)

开覆盖、紧集⚓︎

之所以将开覆盖和紧集放在一起是因为，紧集的定义中含有了开覆盖，并且涉及到开覆盖的题目往往需要说明集合是紧集，而如果含有有界闭（在 \(\mathbb{R}^{n}\) 中这与紧集等价）的条件，往往也会使用到相关的定义作为证明的方法。

所谓开覆盖就是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的一族开集满足 \(E\subset \bigcup \left\{ G_{\lambda}:\lambda\in\Lambda \right\}\)，则 \(\left\{ G_{\lambda} \right\}\) 称为 \(E\) 的一个开覆盖，若是 \(E\) 的任一开覆盖存在有限子覆盖（有限个开集）仍构成 \(E\) 的一个开覆盖我们就称 \(E\) 为紧集。

下面这个定理在数分中已经证明过这里只给出结果：

如果是紧集的话，加上连续性条件将会得到数分中应当称为连续映射的优良结果：

注：有关这些性质更详尽的解释和适用的空间可以在点集拓扑中学到